Matematikle aranız nasıl? Belki bayılıyorsunuzdur, belki de hiç sevmiyorsunuzdur. Hangisine dahil olursanız olun eğer müzik dinlemeyi seviyorsanız aslında matematikle de oldukça içli dışlı oluyorsunuz demektir. Çünkü onsuz yapamadığımız müzik, duyguların yanında büyük bir matematik sistemi aslında. Hep birlikte matematik ve müziğin arasındaki ilişkiye (çok da sıkıcı olmayacak şekilde) bir göz atacağız!
Batıkan BAKSI / [email protected]
Yazıya başlarken peşinen söyleyeyim, hayatımda matematik kadar sevmediğim bir ders olmadı. Bugün bile sadece dört işlem bilerek yaşamımı sürdürüyorum, gayet memnunum. O x’ler y’ler benim için hep kabus olmuş, kendileriyle hiç barışamamışımdır. O sebeple şimdiden belirteyim ki yazıda bol bol matematikten bahsettiğim için matematiği çok sevdiğim düşünülmesin. Ancak yıllardır yazmanın dışında bir de kendi çapımda müzik yapmayla uğraştığım için müziğin ne denli bir matematiği olduğunun farkındayım. Maalesef bu sebepten dört işlemin dışında bir de müziğin matematiğiyle iç içeyim. Tabii müziğin matematiği, okulda gördüğümüz o sıkıcı matematikten çok uzakta olduğu için keyifli olduğumu da söyleyebilirim. En azından ortaya pek keyifli bir sonuç çıkarıyor değil mi ama? Bu yüzden minnet duygumu da belirtmeden geçemeyeceğim. Peki sizce matematik ve müzik nasıl bu kadar içli dışlı bir ilişkide olabiliyor? Yeri geldiğinde kuralsız da yapılabilen bu sanat, nasıl matematiğin kurallarından nasibini alıyor? Cevabını öğrenmek için şimdi birlikte nota ve sayıların dünyasına ışınlanıyoruz!
Matematik ile müziğin dansı binyıllar öncesine dayanıyor!
Kadim uygarlıkların müzikle uğraşmaya başlaması, bu alandaki sayısal araştırmaları da beraberinde getirmiş aslında. Başlarda eski Çin, Hint, Mısır ve Mezopotamyalılar seslerin matematiksel karşılığını araştırdığı bilinse de eski Yunan’da özellikle Philolaus ve Archytas, hepsinden önce müzik gamlarının sayısal oranlarını ilk araştıran kişilerdi. Onlara göre doğa, sayılardan oluşan bir uyumun sonucunda meydana geliyordu. Platon’dan beri bu uyum da fiziğin çalışma alanlarının içindeydi. Bugün müzik akustiğini ilgilendiren bu konu, Hint ve Çin uygarlıklarındaki araştırmacıların da ilgisini çekiyordu ki onlara göre armonik ve ritimlerin matematiksel kuralları sadece müziği değil, dünyayı anlamamız için de epey önemli bir konuydu.
Pisagor’un müzik deneyleri…
Bir hikayeye göre Pisagor bir gün çarşıda dolaşırken, bir demircinin önünden geçiyormuş. Demircilerin, demire vururken uyguladıkları ağırlığa göre demirden çıkan sesin farklı olduğunu fark eden Pisagor, ufak deneylere başlamış. Farklı kalınlıklardaki teller, farklı şekillerdeki nesneler, farklı oranlarda sıvılara sahip olan kaplar kullanarak yaptığı bu deneylerde Pisagor, aynı maddeden yapılan bu maddeleri birbirinin yarısı ölçüsüyle kullanmış. Yani mesela uzun telin, kısa telden 2 kat daha büyük olmasını sağlamış. Bu da ortaya oktavlı bir ses çıkarmış. Pisagor bu deney sonucunda, sayıların ve sayıların birbirine olan oranlarının; çalgı ve müzik aletlerinin şekillerinin çıkardıkları sesler üzerinde etkili olduğunu benimsemiş. Pisagor’un bu deneyinden sonra diğer matematikçiler de müzikle matematik arasında kesin bir ilişki olduğuna kanaat getirip çalışmalarına devam etmiş. Pisagor’un bu buluşunun özeti ise şu: Her noktanın oktavının frekansı onun tam olarak 2 katına denk geliyor. Yani A4 notasının frekansı 440 Hz iken onun ince oktavı olan A5 notası 880 Hz aralığında. Bu da aslında müzikteki armonin ve ahengin bir şifresi.
Bildiğimiz akortlar aslında matematiksel bir sistem!
Özellikle Batı müziğinin olmazsa olmaz akort sistemi “eşit tamparaman”, bir oktavın 12 eşit aralığa bölünmesinden oluşuyor. Bu sistem aynı zamanda logaritmik olarak ayrılmış ve her aralığın eşit ölçüde frekans oranlarına sahip olduğu bir düzene sahip. Eşit tamparamanda hiçbir notanın akordu keyfi olarak düzenlenmez, tamamen matematiğe dayalı bir akort düzeninden oluşur. Bir oktav içindeki her notanın frekansı da bir öncekinden %5.95 daha yüksek bir frekans taşır. Matematiğin böylesine sardığı bir sanat dalında özellikle klasik müzik, matematiği tuhaf şekillerde kullanmasıyla meşhur. Örneğin Johann Sebastian Bach’ın besteleri bol miktarda 14 ve 41 sayılarını içeriyormuş. Bu da aslında bir kodlamaya dayanıyormuş. Harflere sayılar atayan numerolojiye göre saydığımız sayılar B=2, A=1, C=3, H=8 kodlarını oluşturuyormuş ve bunları topladığımızda 14 sayısını elde ediyormuşuz. Yani Bach, aslında matematik aracılığıyla bestelerine kendi adını saklayan bir şifre koyuyormuş.
Peki matematik madem müzikle bu kadar ilişkili, bu alanda ortaya konulan teoriler yok mu?
Müzik ve matematik tam manasıyla birbirini tamamlayan iki disiplin olarak karşımıza çıkıyor esasında. Frekanslar, oranlar, ritim ve diziler gibi kavramlar müzik teorisinin temelini oluştururken bu teoriler, matematiksel prensipler yardımıyla açıklanıyor. Müzik, sadece sanatsal bir ifade biçimi değil, aynı zamanda matematiğin evrendeki yansıması da olduğu için bazı araştırmacıların bu doğrultuda ortaya koyduğu bazı teoriler var:
Fibonacci Dizisi ve Altın Oran: Fibonacci dizisi ve altın oran, doğadaki pek çok yapının temelini oluşturduğu gibi müzikte de karşımıza en çok çıkan kurallardan birisi. Fibonacci dizisi; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … şeklinde ilerleyen ve her sayının kendinden önceki iki sayının toplamı olduğu bir diziymiş aslında. Bu dizi, müzikte ritmik yapıların ve melodik dizilerin oluşturulmasında kullanılırken; özellikle müzikal kompozisyonlarda, bir eserin belirli bölümlerinin uzunlukları veya doruk noktalarının yerleşimi de altın oranla ilişkili olabiliyormuş. Altın oran yaklaşık olarak 1.618’miş ve müzikte doğal bir akış hissi yaratmaya yardımcıymış.
Fraktal Geometri ve Müzik: Fraktal geometri, bir yapının her bir küçük parçasının; tümün minyatür bir kopyası olduğunu savunan ve tekrarlayan şekillerle ilgili bir sistem. Müzikte de buna benzer bir yapı mevcut. Özellikle minimalist müzikte, aynı melodik veya ritmik desenin farklı ölçeklerde tekrar ettiği fraktal yapılar görüyoruz. Örneğin; Philip Glass gibi besteciler, müziklerinde tekrarlanan motiflerle fraktal geometriye benzer etkiler yaratarak matematiğin hakkını veriyorlar.
Dalgalar ve Fourier Analizi: Matematiksel bir perspektiften bakıldığında, müziğin dalga formundan oluştuğunu biliyoruz. (Hatırlamak isteyenleri mor ve ötesi’nin ‘Bir Derdim Var’ klibine alalım) Ses dalgaları farklı frekanslarda hareket ederken, bir müzik aletinden çıkan her nota da kendine özgü bir dalga formu oluşturuyor. Fourier analizi, karmaşık ses dalgalarını daha basit sinüs dalgalarına ayırarak bu dalga formlarını analiz etmeye yarıyor. Bu yöntem, dijital müzik ve ses mühendisliği alanında oldukça sık kullanılırken, ses dalgalarını analiz etmek ve müzikteki farklı frekans bileşenlerini ayırmak için Fourier analizi aslında matematiksel bir araç.
Müzikal Dizi Teorisi: Dizi teorisi (Set Theory), modern müzik kompozisyonunda en sık kullanılan bir matematiksel yaklaşım. Özellikle 20. yüzyılın başlarında Arnold Schoenberg gibi besteciler tarafından geliştirilen bu yöntem, müzikal dizilerin, matematiksel küme teorisine dayalı bir sistemle organize edilmesiyle ilgileniyor. “Seriyalizm” olarak da bilinen bu teknik, on iki tonlu dizilerle müzik yazmayı içeriyor ve her notanın matematiksel bir sırayla kullanıldığı karmaşık bir yapı oluştuyor. Yani “vay be şarkının trafiğine bak, ne matematik kullanmışlar” dedirten şarkılar bir nevi müzikal dizi teorisiyle yaratılıyor.
Kaos Teorisi: Kaos teorisi, karmaşık ve öngörülemeyen sistemlerin altında yatan düzeni inceleyen bir teori esasında. Müzik, her ne kadar kaotik görünse de, bazı durumlarda kaos teorisinin prensiplerine dayanarak yapılandırılabilen bir olgu. Örneğin, minimal müzikte, tekrar eden melodik ve ritmik motiflerin küçük varyasyonlarla değişmesi, kaos teorisinin müziğe uygulanabileceği bir alan sunduğu için besteciler, bu tür varyasyonlar yoluyla dinleyicinin beklenmedik yönlere götürüldüğü ve kaotik bir duygusal yolculuğa çıktığı eserler yaratabiliyorlarmış. Kaos teorisine benzer bir yapıda olan olasılık teorisi, stokastik müzik olarak da adlandırılıyormuş ve rastlantısallığa dayalı bir bestelenme sistemine sahipmiş. Stokastik müzik yapmaya bayılan Yunan besteci Iannis Xenakis, müzikte tahmin edilemez uçlara gitmeyi çok seviyormuş.
Grup Teorisi ve Tonal Müzik: Grup teorisi, matematikte simetriyi inceleyen bir alan ve müziğin analizi için de kullanılabiliyor. Akorların ve müzikal dönüşümlerin matematiksel olarak incelenmesi, özellikle tonal müzikteki akorların yer değiştirme ve transpozisyon ilişkilerini anlamamıza yardımcı olan eylemlerden sadece biri. Akorların farklı tonlardaki dönüşümleri, bu sayede simetrik gruplarla açıklanabiliyormuş. Örneğin, Do majör akorunun farklı transpozisyonları, matematiksel bir grubun üyeleri gibi hareket ediyormuş. Bu yaklaşım da müzik teorisindeki armoni ve modülasyonların daha derinlemesine anlaşılmasını kolaylaştırıyormuş.
İyi ki matematikten hiç hoşlanmıyorum dedim yazının başında ancak birazcık işin içinde olunca aslında müziğe ait olan matematik, hayatımızın tam ortasında. Dinlediğimiz şarkıların ölçülerinden sahip olduğu müzikal donanıma kadar hakim olduğumuz bu sayısal sistemler, üzerinden ne kadar geçse de müzikle birlikte anılmaya devam edecek gibi gözüküyor.